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Las dificultades que encuentran enseñantes y enseñados por igual cuando convergen en la
matemática seguramente no son exclusivas, es claro que cualquier
tema de la enseñanza y del aprendizaje plantea serias
dificultades. Por causas que no consideraremos aquí, el caso de la
matemática es motivo de preocupaciones especiales. Su importante
presencia en el curriculum en todos los niveles de enseñanza hace
que la preocupación esté muy difundida. Lo poco exitosa que han
sido las soluciones para enfrentar las dificultades están
produciendo propuestas de modificaciones drásticas que incluyen
una significativa reducción de cuánta matemática se considera
adecuada. Se dice, por ejemplo, que hay que enseñar la matemática
que sea demandada por los presuntos usuarios. (La discusión sobre
el `programa de Harvard' viene a colación) Si alguien quiere usar
una calculadora se le enseña exactamente eso. Estas tendencias
afectan el sustento cultural de la presencia de la matemática como
objeto para aprender. Históricamente la matemática se enseña
porque es parte del legado cultural y no sólo porque es útil.
Ocurre que la utilización de la matemática por la gente es menor
que lo pueda aparecer. Distinto es el asunto de la presencia de la
matemática en variedad de lugares y objetos para cuya construcción
fue elemento esencial. Lo que Noss llama la visibilidad de los
significados matemáticos es claramente básica. Pero lo que
llamamos preocupación cultural es distinta pero no totalmente. H.
Wu la plantea bien cuando se pregunta si con la matemática
presente en la escuela alguien puede llegar a comprender la
importancia que la prueba del Teorema de Fermat tiene en la
historia de las ideas y de la cultura. Lo bueno de este planteo es
que no es específico de la matemática, se aplica a otras
disciplinas.
La enseñanza de la matemática para no-matemáticos es una de las
cuestiones centrales que preocupan a quienes investigan en
Educación Matemática y en Didáctica de la Matemática. También es
una cuestión que desvela a los matemáticos tanto para diseñar
cursos como para enseñarlos. Conviene anotar algo que por conocido
puede pasar desapercibido: la mayor parte de la enseñanza de
la matemática está dirigida a individuos que no serán matemáticos
profesionales. La enseñanza es, por un lado, la general de la
escuela preuniversitaria o si no la dirigida a futuros usuarios,
aquellos que no serán matemáticos profesionales. Por supuesto se
enseña matemática para futuros matemáticos y al menos en la
universidad el diseño es dominante. Otra vez Wu señala:
``...tenemos que ampliar nuestra visión sobre la enseñanza de la
matemática [...], dedicarnos a la cuestión más amplia y más
complicada de educar estudiantes que tienen diversos objetivos de
vida''. Y agrega: ``[Pero] enseñamos casi todos nuestros cursos
como si todos nuestros estudiantes fueran a tomar cursos de
postgrado. ``Esto es totalmente absurdo [...] es una horrible
aplicación errónea de nuestra autoridad''. Esta última afirmación
debe destacarse, la comunidad matemática tiene naturalmente
autoridad, la cuestión es como se ejerce.
La situación descripta plantea un dilema sobre el cual queremos
reflexionar. El dilema es teóricamente mucho más profundo que sus
consecuencias prácticas. Se trata de la existencia de `diferentes
matemáticas', que son las ``matemática para...": para físicos,
para biólogos, para economistas, para agrónomos, y así puede
seguirse; también está la `matemática de la educación matemática',
que podemos ilustrar al pensar qué matemática conviene o deben
estudiar y conocer los profesores de matemática.
Dado que existe una disciplina bien establecida que se llama
matemática y dado que sin duda hay usuarios no matemáticos en
otras disciplinas puede parecer que el problema es uno de decisión
a partir de una lista de recursos matemáticos útiles o necesarios
para cada una de las otras áreas. Es probable que siempre la
cuestión se resuelva según este esquema: las demandas de la otra
profesión son especificables y los matemáticos, una vez
identificadas, las satisfacen.
La realidad no es tan simple y con este esquema se obtienen
aproximaciones que, según las circunstancias, son mejores o
peores.
Si pretendemos un público culto después de la escuela ¿cuanto debe
entender de una expresión, ahora corriente como `tal gen codifica
para una dada proteína'? Y la complicada estructura geométrica de
cadenas de ADN o de moléculas ¿requiere de algún conocimiento o
familiaridad con la geometría?. Esta línea de argumentación tiende
rápidamente a otra pregunta general y pertinente: la necesidad de
la matemática como parte del conocimiento que se espera de `todo
el mundo'. Planteamos esta pregunta cuando hay, como dijimos al
principio, una incipiente inclinación a pensar que se necesita
poco.
Esta pregunta toma forma si pensamos que no está aislada, hay
otras partes del conocimiento cultural que no tienen respuesta
clara para ella, por ejemplo la música y la poesía. Por supuesto
la cuestión de siempre es si pretendemos enseñar una disciplina
para la generalidad, si la introducimos dentro del proyecto social
de enseñanza, ¿cuánto parecido debe tener con la disciplina de
referencia?.
En 1992 Dubinsky planteaba esta cuestión de manera muy perceptiva
y resaltando las dificultades:
``[Al discutir] sobre el pensar matemático, y en particular con
gran interés en la educación matemática se plantea una cuestión
muy importante y es una sobre la cual no sé mucho. La pregunta es
¿hay un tipo de conocimiento matemático o hay dos?. Lo que
preocupa a la mayoría de los matemáticos profesionales es la
continuación de la especie: la educación y producción de
matemáticos de primer nivel, gente que, desde el comienzo, son muy
talentosos en matemática. Una segunda preocupación, quizá la
fundamental para educadores matemáticos, es la del alfabetismo
matemático - el aumento de la comprensión matemática entre la
población en general que será necesario en el futuro. Estas son
dos cuestiones fundamentales. En el contexto de esta situación lo
que hay que preguntar es: ¿cuáles son las conexiones entre las
dos? ¿Hasta que punto son iguales? ¿Dónde son realmente preguntas
diferentes? [...] Necesito saber más sobre que es realmente el
conocimiento matemático [...] es parte de la agenda a largo
plazo."
Aquí aparece algo propio, particular de la matemática. Las
características esenciales de la matemática surgen `al principio',
tanto sus objetos de estudio como sus métodos. (Esto es claro en
la enseñanza universitaria3 ). Por eso,
quizá la matemática aparece como más problemática respecto de
otras disciplinas. Las aproximaciones a la matemática no son
simples, no al menos en la escolaridad obligatoria. Recordemos sin
embargo a Bruner y la paradoja de Zenón, la historia de Aquiles y
la tortuga, que según él es accesible a los pequeños -si aceptamos
que hay formas diferentes de acceder, a través de diferentes
narrativas. Es oportuno señalar que para un matemático esa
paradoja tiene una muy simple solución pero que para los filósofos
el tema sigue siendo fuente inagotable de problemas complicados.
Según Bruner los chicos la consideran una historia `tonta'.
Pero también podemos indagar si estas diferentes formas de
acceder son accesos a la matemática realmente.
Los esfuerzos para adaptar los conocimientos propios de la
matemática a las necesidades de los usuarios potenciales ( un
proceso de transposición didáctica según la didactique
francesa) producen cambios en los objetos a enseñar que pueden
llegar a desvirtuar la `naturaleza misma' de la matemática. La
matemática sólo como 'herramienta a usar' puede no funcionar como
matemática, al menos no en el sentido en que lo interpreta la
comunidad de práctica.
La diferencia entre la matemática y las ciencias experimentales
suele expresarse caracterizando a la matemática como una
disciplina lógico-deductiva. El énfasis tiende a comunicar la idea
que en matemática no se experimenta, no se investiga sobre las
posibles propiedades de un objeto que se contempla. Lo más común
es la visión de la matemática como un todo acabado donde los
teoremas, producto de la actividad matemática, ya fueron obtenidos
siguiendo rigurosas reglas y no mucho más puede hacerse con ellos
salvo usarlos en las formas prescriptas, de acuerdo con las
indicaciones. Lo que falta en esta visión es la noción de
matematización, la interpretación matemática de fenómenos no
matemáticos, el planteamiento de un problema matemático a partir
de esa interpretación, su solución matemática y la interpretación
de esa solución como solución posible del fenómeno inicial. Este
tipo de actividad, cuando es realizada por un profesional de las
ciencias naturales o sociales, establece una particular relación
entre el científico y la matemática. Esa relación es un aspecto de
la `matemática para las ciencias' que mencionamos antes. Esto
destaca las dificultades para producir una tal matemática. Es el
problema que preocupa a Wu aunque no lo plantea así. Ocurre que la
comunidad matemática establece otra relación con la matemática,
distinta; los problemas de adaptación son justificadamente duros.
Podemos intentar usar la frase de Schoenfeld de `aprender a pensar
matemáticamente' y tratar de ver si esto ayuda a integrar nociones
tan divorciadas como matemática para matemáticos y `la otra', para
no-matemáticos. Notemos que esencialmente hablamos de la enseñanza
y del aprendizaje, al menos en el contexto de estas reflexiones.
Aprender a pensar matemáticamente significa en primer lugar
desarrollar un punto de vista matemático, es decir valorar los
procesos de matematización y abstracción y tender a aplicarlos. En
segundo lugar es necesario aprender a usar las herramientas del
oficio y usarlas para entender la estructura - la búsqueda y
construcción de sentido matemático.
Lo que nos interesa de esto es que abarca tanto la llamada
matemática pura como la matemática aplicada. En un caso se trata
de estudiar sistemas definidos axiomáticamente, tratar de
determinar por la observación y la experimentación principios y
regularidades; en el otro caso se trata de lo que describimos como
matematización: modelos de sistemas abstraídos de objetos del
mundo real. También sabemos cuales son las herramientas: la
abstracción, la representación simbólica y la manipulación
simbólica. Estas son herramientas que adquieren un sentido cuando
se utilizan. Mucha enseñanza de la matemática pone el acento en
estas herramientas y en nada más. La importancia de la
manipulación simbólica tiende a exagerarse y tiende a confundirse
con la matemática. La identificación de la matemática con el
cálculo, con las cuentas, es una consecuencia.
Steen, en un conocido trabajo de 1988, plantea una parte del
origen del problema:
``Mucha gente educada, especialmente científicos e ingenieros,
cultivan una imagen de la matemática como si fuese un árbol del
conocimiento: fórmulas, teoremas y resultados cuelgan como frutas
maduras para ser arrancadas por los científicos que pasan, para
nutrir sus teorías. Los matemáticos en cambio, ven su área como
una selva tropical que crece rápidamente, alimentada y moldeada
por fuerzas fuera de la matemática mientras contribuyen a la
civilización humana con una rica y siempre renovada flora y fauna
intelectual. Estas diferencias en percepción se deben
primariamente al empinado y rudo terreno de lenguaje abstracto que
separa la selva tropical de la matemática del dominio de la
actividad humana ordinaria."
Esta cita nos interesa aquí porque describe algún aspecto de la
relación con la matemática que mencionamos. Las diferencias de
percepción se atribuyen al lenguaje de la matemática.
La imagen que se propone ahora, de acuerdo con Schoenfeld, es la
matemática como una ciencia casi empírica cuya actividad tiene
parecidos con las ciencias naturales. Esto permitiría moverse en
búsqueda de alguna solución para los problemas que indicamos. Se
trata de mejorar la relación con la matemática -en el sentido que
describimos aquí- en el ámbito de la enseñanza. Es decir mejorar
`todas las matemáticas'.
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